Таблицы Брадиса

Гимадеев МФТИ, 2009, Р.

Гимадеев МФТИ, 2009, Р.

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

ГО

которой ^ р(апп) < то.

П=1

2001-2. Докажите, что для любого целого положительного п матрица

^2 1 1Ч п

0     2 1

имеет два равных элемента на главной диагонали.

2001-3. Пусть Рп и — правильные п-угольники, причём Рп вписан в круг диаметра 1, а описан около этого круга. Обозначим через рп и их периметры. В какой трети интервала (рп, дга) лежит число п?

х)Вот победители этих олимпиад: А. Авилов (2009), В. Арутюнов (2008), В. Астахов (2008, 2009), А. Буфетов (2009), А. Гаврилюк (2009), Е. Горинов (2009), Р. Гимадеев (МФТИ, 2009), Р. Девятов (2008, 2009), А. Ефимов (2008), М. Илюхина (2008), А. Ки­селёв (МФТИ, 2009), П. Козлов (2009), И. Митрофанов (2008), П. Мищенко (МФТИ, 2009), А. Перепечко (2009), С. Смирнов (2008), А. Трепалин (2008), В. Шмаров (2009). А вот кто предложили задачи на олимпиады: И. В. Аржанцев (2008-3), В. И. Бога­чёв (2008-1, 2008-2, 2009-5), А. А. Заславский (2008-4, 2009-3), В. Ю. Протасов (2009-1),

A. М. Райгородский (2008-5, 2009-2), А. Б. Скопенков (2008-3, 2009-4). Фамилии мате­матиков, предложивших задачи 2001 года, утрачены, за что мы приносим свои извине­ния. Предложивший не обязательно является автором. Многие из приводимых задач не новы. Но мы полагаем, что многие из них оригинальны. Все варианты составлены

B. И. Богачёвым. В [1] приведены задачи первого тура олимпиады 2001 года, а задачи второго тура ошибочно названы утраченными.

2001-4. Для любых целых р и Л обозначим через .](Л,р) число цело­численных решений (х1,..., Хб) уравнения х1+х2 +х| = х| +Х5+хб+Л, для которых 1 ^ х1,..., хб ^ р. Докажите, что .](А,р) ^ ■](0,р) для любого р.

2001-5. Положим 5 = {я € С : |г| = 1}. Каково наибольшее возможное количество точек в пересечении Р-1(1) П 5 по всем полиномам Р третьей степени, для которых Р-1(1) ^ 5?

2001-6. Можно ли покрыть пространство М” семейством замкнутых шаров с положительными радиусами и попарно непересекающимися внут­ренностями?