Таблицы Брадиса

ГОМОТЕТИЧНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ Предыдущие

ГОМОТЕТИЧНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ Предыдущие

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

Доказательство. Пусть касательная к окружности из точки Яа, отличная от BC, пересекает AB в точке ЯС. Достаточно показать, что

Я = ОС.

Пусть Р/ пересекает AC и ЯаЯС в точках К и Т. Пусть также точки М и N симметричны Яа и С относительно Р/. Заметим, что PMA — прямая.

Теперь шестиугольник KAQСLMN описан вокруг вписанной окруж­ности дABC, и по теореме Брианшона КТ, AM и QСN пересекаются в одной точке. Следовательно, эта точка есть Р и О^Р — прямая, т. е. zCP/ = zQСP/ и ОС = Ос.                                                                                                                        □

Есть ли другие интересные результаты, когда I проходит через какую- нибудь замечательную точку или 0 является замечательной точкой? Ав­тору это неизвестно, но читатель может провести собственное исследо­вание!

4.    ГОМОТЕТИЧНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

Предыдущие исследования (подробнее см. конец этого раздела) побу­дили автора рассмотреть ряд случаев, в которых два треугольника оста­ются перспективными, притом что один из них подвергается гомотетии с фиксированным центром и переменным коэффициентом. Общее описание таких ситуаций получается заменой слово «подобный» в формулировке теоремы о двух треугольниках словом «гомотетичный»:

пусть даны треугольники ABC и AlBlCl и точка 0. Найти необхо­димые и достаточные условия того, что любые два треугольника, гомо­тетичные дABC и дAlBlС1 с центром 0 (но разными коэффициента­ми ), были перспективны.

К сожалению, для этого случая автору неизвестен общий критерий, подобный приведённому в предыдущем разделе.

Однако существует одно мощное достаточное условие (разумеется, три­виальное достаточное условие возникает, когда треугольники ABC и AlBlCl сами гомотетичны, мы используем это позднее). Оно является специальным случаем теоремы Сонда[60], и имеет следующий вид.