Таблицы Брадиса

и =и и», V =и ПЬ)

и =и и», V =и ПЬ)

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

13   (2008, все курсы). Пусть /: [0,1] ^ М — непрерывная функция. Доказать, что найдётся подмножество X С [0,1] мощности континуум, на котором функция / монотонна.

14   (2002, все курсы). Пусть А С Мп — компакт и

 

Доказать, что замыкание множества В совпадает с Мп («!» означает «един­ственный»).

15   (2006, старшие курсы). Доказать, что симметричная матрица А неотрицательно определена тогда и только тогда, когда для любой симмет­ричной неотрицательно определённой матрицы В выполнено неравенство 1т АВ ^ 0.

Решения задач 2009 года

Задача 1. Будем рассматривать только симметричные окрестности точек. По условию у каждой точки а € А есть окрестность и (а), которая не пересекается с В. У каждой точки Ь € В есть окрестность V(Ь), которая не пересекается с А. Из неравенства треугольника легко видеть, что если мы возьмём вдвое меньшие окрестности и;(а) и V'(Ь), то они не будут пересекаться между собой при любых а А, Ь В. Тогда множества

и =и и», V =и ПЬ)

6Є-В

обладают требуемым свойством.

Задача 2. Множество А обладает предельной точкой х0 € М. Пусть {х»} — последовательность точек множества А, сходящаяся к х0 (х» = = х0). Тогда одно из множеств I = {г : х» < х0} или I7 = {г : х» > х0} бесконечно; пусть для определённости это множество I. Тогда, заменив xi на её подпоследовательность с индексами, лежащими в I, можно считать, что xi < xo при любом i.

Осталось построить монотонную подпоследовательность {yi} последо­вательности {xi}. Положим У1 = xi, il = 1. Пусть отрезок У1 < ■ ■ ■ < yn уже построен. Так как yn < xo, то из сходимости xi ^ xo существует такое натуральное число in+i, что xi > yn при всех i ^ in+i (ясно, что in+i >