Таблицы Брадиса

Имеем 336.

Имеем 336.

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

|(/(а1) — /(а2) + /(а3) — /(а4) + • • • — /(а2т+4) — (2т + 4) | ^                                     ^ 3

Это означает, что |д(ж(а1)) — д(ж(а2т+4))| ^ (2т + 4) — 3 > 2т. Отсюда следует требуемое неравенство.          □

Окончание доказательства части ««только тогда» критерия непре­рывной базисности. Имеем:

fsn __  S„-1!(F — Fn-l) — /s.

Sn-l!

Применим лемму к

m — Sn, а* — aSn, f — Sn-i!(F - Fn-i), g — Sn-1!(G — Gn-l^ h — Sn— 1!(H — Hn-1).

Это возможно, так как f (x,y) = g(x) + h(y) и (так как sn — 1 > sn-i при n > 2)

|f fsn 1 = Sn-l!|F Fn| < (gn _!) • 8n^ (gn + 1) •... • Sn+fc <

fc=Q

1   < 1

(sn _ 1) • Sn ^ 2k Sn

fc=Q

По лемме получим sn-i!|G — Gn-i| > sn.                                                          □

12.    (a)* Докажите элементарно (т. е. без использования описания про­странства C*(K) в терминах мер, см. ниже), что если K С R2 замкнуто и ограничено, причём E(K) = 0, то K базисно [14].

Указание. Получите сначала разложение f (x, y) = g(x) + h(y) для ку­сочно-линейных функций f, причём |g| + |h| < 51f |.

(b)        ** Докажите элементарно часть «тогда» критерия базисности.

Указание. То же, |g| + |h| < Cn|f |, где Cn зависит только от того n, для которого En(K) = 0.

Напомним, что двумя звёздочками обозначаются нерешённые задачи.

Доказательство критерия базисности [18, §2, Лемма 23.ii]. [42] Оно ос­новано на переформулировке свойства базисности в терминах ограничен­ных линейных операторов в банаховых пространствах функций. Обозна­чим через C(X) пространство непрерывных функций на X с нормой |f | = = sup{|f (x)| : x Є X}. В этом доказательстве обозначим через prx(a) и pry(a) проекции точки a Є K на оси координат.

Для подмножества K С /2 определим отображение (линейный опера­тор суперпозиции) р: C(/) ® C(/) ^ C(K) формулой