Таблицы Брадиса

Итого, мы доказали следующую лемму.

Итого, мы доказали следующую лемму.

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

Итого, мы доказали следующую лемму.

Лемма 4. Если существует набор рулеток, выигрывающих по цик­лу с вероятностью а, то существует и связка с не меньшим выигры­шем. При этом в любой связке «первый виток» нити (то есть вершины аі,..., ап) состоит из самых правых вершин в строках. Далее, для про­извольной вершины Ь, если і — максимальный индекс такой, что Ь ^ а^, то ф(Ь) = ф(аі); в частности, нить полностью задаёт всю связку.

Теперь мы готовы к следующей переформулировке. Нарисуем вместо строки из і точек отрезок длины 1, разбитый на і равных частей. Если нить идёт из точки а в точку Ь, то соединим правые концы соответству­ющих отрезков. Полученную ломаную также назовём нитью; координаты (абсциссы) точек новой нити обозначим через Ь. Соединим также пра­вый конец отрезка, соответствующего последней точке нити а^, с началом следующего отрезка, и для симметрии продлим нить по всем остальным левым концам (см. рис. 5).

Пусть теперь на і-м отрезке отмечены точки с координатами Жо = 0, Жі, ..., Ж£ = 1, из которых нить переходит в точки (і + 1)-го отрезка с координатами уо = 0, уі, ..., у£ (может оказаться, что уі =0 или у£ < 1!). Тогда ясно, что вероятность выигрыша і-й строки у (і + 1)-й равна

£ 8—1

Р = Е(Ж* - Жі-і)Уі = 5^(1 - Жі)(Уі+і - У).                                (1)

і=і і=0

(В первой сумма посчитаны вероятности выигрыша для отрезков [жі—і, Жі]; во второй же — вероятности проигрыша для отрезков [Уі,Уі+і].)

До этого момента мы предполагали, что количество чисел на рулетке фиксировано. Если убрать это требование, то можно выбирать на отрезках точки с произвольными рациональными координатами; а поскольку мы ищем точную верхнюю грань выигрыша, то можно убрать и требование рациональности: для любого примера с иррациональными координатами