Таблицы Брадиса

Известно, что число 2 П

Известно, что число 2 П

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

V—1 У

зуемой, и поэтому (М/)п+2 нескалярна). Значит, д удовлетворяет условию задачи тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию (3) при к = 1, ...,п + 1. Минимальное значение д получится, естественно, при

к = 1, и оно будет равно д =---------- 2—п— .

4еов ——т п+2

Итого, мы доказали следующую теорему (и тем самым решили задачу 10.5).

Теорема 10. В любой системе из п рулеток с проигрышем д имеем . 1

д ^ ------- 2—п—, причем это значение нельзя заменить на меньшее.

4 cos2

Замечание. Известно, что число cos2 П = 1 | 1 + cos 2п | раци-

n+2 2                      n+2

онально лишь при n = 1, 2, 4. Поэтому набор рулеток (с равными секто­рами), на которых достигается проигрыш q, возможен лишь при n = 4 (ибо рулеток не менее трёх). Он действительно достигается, как показы­вает правый пример на рис. 1; здесь q = ------------------------------- 2~г = _ . Если же допустить

4 cos2         3

рулетки с произвольными длинами секторов, то это значение достигается

Рис. 7.

 

всегда: достаточно построить соответствующую нить, а по ней построить

рулетки. На рис. 7 изображены оптимальные рулетки для n = 3 (большие

.. Уб -1 , секторы на разделенных рулетках составляют —                     ю часть рулетки).

В заключение хочется заметить, что вопрос, какого максимального вы­игрыша можно добиться на n рулетках с к числами на каждой, еще далек от решения. В 1994 г. Р. Сэвидж [4] нашел точные значения при n = 3.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1]   М. Гарднер. Нетранзитивные парадоксы. В кн. «Путешествие во вре­мени». М.: Мир, 1990.

[2]   S. Trybula. On the paradox of n random variables // Zastos. Mat. (Appl. Math.) Vol. 8, 1965. P. 143-154.

[3]   Z. Usiskin. Max-min probabilities in the voting paradox // Ann. Math. Statist. Vol. 35, 1964. P. 857-862.