Таблицы Брадиса

. (х) {и1(х)и2(х)2из(х)2 •... • Ь(х? .

. (х) {и1(х)и2(х)2из(х)2 •... • Ь(х? .

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

Заметим, что если мы «отразим» наш рисунок симметрично относи­тельно центра (это преобразование задаётся формулой гі = 1 - Гп+і-і), то вероятности выигрыша не изменятся. Это легко доказать, подставив значения гі в формулы (2) (или просто внимательно посмотрев на рис. 5).

Итак, мы исследуем функцию д(ж) на максимум. Из соображений сим­метрии следует, что д(1 - /п-і(ж)) = д(ж). В частности, д(Л) = д(0).

Лемма 8. д(0) = д(Л) > $(х) при всех х е (0, Л). Доказательство. Найдём производную $;(х). Имеем

9 _ /(х)

(1 - х)2 поэтому

\2

Л(х) = [/(/г-1(х))]' = ^ Л_1(х)

откуда по индукции получаем

/'(х) = fг(x)2fi-^(x)2 • ... • /1(х)2

Тогда

#'(х) = (1 - х)/П_1(х) - /п-1(х) =

. (х) {и-1(х)и-2(х)2и-з(х)2 •... • Ь(х? .

= /п-1(х) • I--------------------------- 9^-1-------------------------- 1

Множитель /га-1(х) положителен, а выражение в скобках — возрастающая функция Л,(х) на отрезке [0, Я]. Если бы она была знакопостоянной, то и $'(х) была бы знакопостоянной; это неверно, так как д(0) = $(Л). Значит, Л,(х) имеет ровно один корень хо, и ^'(х) < 0 при х е (0,хо), ^'(х) > 0 при х е (хо, Я). Это и означает, что д(0) = $(Л) > $(х) при всех х е (0, Я). □

Итого, мы получили следующее описание оптимальной нити. Следствие 9. В оптимальной нити гп = 0, гга_г = /(0), причём

г 1 = /п-1(0) = 1 - д.

Доказательство. Равенства гп = 0, гга_ = /(0) следуют из лемм 7 и 8. Последнее равенство следует из того, что = 1 — (1 — гп)г1 = = 1 — г1 = д.                                                                           □

Итого, наша задача свелась к следующей.

Задача. По числу д е (0,1) построим последовательность п = = /га_г(0), г = 1,...,п. Найти минимальное д, при котором п е [0,1] (г = 1,..., п) и п1 = 1 — д.