Таблицы Брадиса

Хованского в этом выпуске, см.

Хованского в этом выпуске, см.

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

Покажем, что многоугольник Ньютона произведения Р(ж,у)^(ж,у) есть сумма Минковского многоугольников Ньютона многочленов Р(ж, у) и ^(ж,у). Сумма Минковского Мі ® М2 фигур Мі и М2 по определению равна

М1 ® м2 = {ж | ж = жі + ж2; жі є М1, ж2 є м2}

(Точка отождествляется со своим координатным вектором.) Подробнее о сумме Минковского написано в статье В. А. Тиморина и А. Г. Хованского в этом выпуске, см. 30-57.

В самом деле, каждому направлению на плоскости отвечает вес (Аі, А2), для которого вес монома ж”ут равен пАі + тА2. Каждая вершина многоугольника М суть точка со строго максимальным (или строго ми­нимальным — что то же самое, ибо знаки Аі можно поменять) весом, при подходящем выборе веса, и все точки с таким свойством — суть вершины. Рёбра отвечают весам, имеющим равные значения на паре вершин (соеди­няемым этим ребром). (Геометрически это значит, что при подходящем выборе проекции вершина М будет единственной максимальной точкой, соответственно, ребро спроецируется в точку). Ясно, что вершина макси­мального веса для многоугольника Ньютона произведения Р(х,у)Я(х,у) отвечает произведению мономов максимального веса сомножителей — т. е. сумме соответствующих вершин многоугольников Ньютона для многочле­нов Р(х,у) и Я(х,у).

Если показать, что количество вершин у М1 ®М2 не меньше, чем коли­чество вершин в каждом слагаемом, то из этого будет следовать утверж­дение задачи. В качестве примера достаточно взять многочлен, у которого многоугольник Ньютона содержит более миллиона вершин.

Сумма Минковского обладает следующим свойством. Ориентируем сто­роны Мг по часовой стрелке. Если у М1 и М2 нет сонаправленных векторов сторон, то множество векторов сторон у М1 ® М2 суть объединение соот­ветствующих множеств для Мг, в случае же если такие векторы есть, то вместо пары векторов берётся их сумма. Поэтому количество вершин у М1 ® М2 не меньше, чем количество вершин в каждом слагаемом. Задача решена.