Таблицы Брадиса

Когда , с 0, свойства

Когда , с 0, свойства

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

Замечания. 1. Когда b, с ^ 0, свойства (1)—(5) из теоремы 1 пере­ходят в соответствующие евклидовы свойства (см. табл. 1), что ещё раз демонстрирует аналогию между треугольником максимальной площади и прямоугольным треугольником.

2.   Если b, с ^ то, то из свойства (4) следует, что угол а стремится к 0 (рис. 7), в то время как в евклидовом прямоугольном треугольнике а = — = const (рис. 6). Этот факт наиболее ярко отражает разницу между прямоугольным треугольником и треугольником максимальной площади.

3.  Формулу (5) можно назвать неевклидовой теоремой Пифагора, так как она имеет тот же вид, что и в геометрии Евклида, с той оговоркой, что в ней присутствуют не стороны, а гиперболические синусы от их половин.

Ключевая теорема и формула ABe = th - объясняют, почему во мно­гих формулах, связанных с площадью треугольника, встречаются именно половина площади и половины сторон.

Упражнение 6. Используя доказательство равносильности свойств

(0)   и (3), докажите формулу

сШ 22 сШ 2 — соб а

 

для вычисления площади произвольного неевклидова треугольника через две стороны и угол между ними. Используя ключевую теорему, попробуй­те также доказать другие неевклидовы формулы, связанные с площадью треугольника (см. [1,6]).

5. Применение: изопериметрическая задача

Пользуясь свойствами треугольника максимальной площади, можно решить аналог так называемой изопериметрической задачи: какой будет фигура максимальной площади при заданном периметре? В геометрии Евклида ответ хорошо известен: эта фигура является кругом (см. [4,7]). Оказывается, что в геометрии Лобачевского решением этой задачи также является круг (см. также [10]).