Таблицы Брадиса

Может оказаться, что новая нить

Может оказаться, что новая нить

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

 

найдётся пример с рациональными, вероятности выигрыша в котором бу­дут сколь угодно близки к изначальным.

Замечание. Полученную в результате систему из n отрезков мож­но рассматривать как n рулеток с неравными секторами. Собственно, все предыдущие рассуждения также проходят для таких рулеток: достаточ­но каждой стрелке в нашем графе приписать вес, равный произведению площадей соответствующих секторов.

3.    Оптимизация нити

Разберёмся теперь, в каких случаях мы можем оптимизировать нить. Будем говорить, что одна нить не хуже другой, если минимальная веро­ятность выигрыша (т. е. min{Pi,..., Pn}) для первой нити не меньше, чем для второй.

Лемма 5. Для каждой нити существует нить, не худшая исходной, в которой на каждом отрезке есть не более одной точки, отличной от концов.

Доказательство. Пусть на i-м отрезке найдутся две соседние точ­ки нити, отличные от концов: bs и bs+n. Попробуем изменить эти чис­ла. В выражения (1) для вероятностей Pi и Pi_i, соответствующих этому отрезку, наши числа входят линейно: Pi = cibs + C2bs+n + const, Pi-i = = dibs + d2bs+n + const для некоторых чисел Ci, di. Заменим теперь bs и bs+n на bS = bs + С2Є, = bs+n — Cie; тогда Pi не изменится, а к Pi-i при­бавится (diC2 — d2Ci)e. Теперь, выбрав є соответствующего знака, можно, не изменив значения Pi, заменить значение Pi-i на не меньшее.

Ясно, что є нужно выбирать достаточно малым по модулю, чтобы не нарушить упорядоченность точек нити на отрезке. Граничным случаем при этом будет совпадение двух точек нити. Выбрав соответствующее зна­чение є, мы получим нить, которая в некоторый момент делает полный виток и приходит в точку, из которой этот виток начался (см. рис. 6). Вы­бросим все точки этого витка (кроме начальной). Нетрудно видеть, что мы не ухудшим её (поскольку каждый отрезок будет «выигрывать» у всех, у которых он выигрывал до того, и, может быть, ещё у каких-то), но при этом уменьшим количество точек нити. (Может оказаться, что новая нить проходит не по всем концам или началам отрезков; в таком случае эти кон­цы и начала нужно добавить в конец или начало нити, соответственно.)