Таблицы Брадиса

Можно считать, что прямая а2

Можно считать, что прямая а2

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

Существует непрерывная функция /п: К — М такая, что

/п(ап) = (—1)" и |/п(ж)| ^ 1 для любого ж € К.

(Действительно, построим сначала непрерывную функцию / : М2 М, удовлетворяющую этим условиям. Обозначим в = шшг<- |а",а^|. Рассмот­рим п дисков с центрами в точках а" и радиусами Э . Вне этих дисков

положим / = 0. Внутри г-го диска сделаем / линейной функцией от ра­диуса, равной ( — 1)" в центре а" и нулю на границе. Теперь ограничим построенную функцию на К С М2 и получим требуемую непрерывную функцию К — М.)

Определим по индукции последовательность чисел вп и функций : К — М. Положим во = 1 и ^0 =0. Предположим, что вп_1 и ^га_1 уже определены. Возьмём функции Сга_1,Нга_1: М — М, для которых ^га_1(ж,у) = Сп_1(ж)+ Нп_1(у) (если таких функций нет, то все доказано). Берём

вп > вп— 1 • • (|Сп_1| + п) и             = ^га_1 +    .

«и-1-

Достаточно доказать, что функция

ГО

F = V -Ц = lim F„

' Sn 1! n^-ro

n=1

не представима в виде С (ж) + Н (у).

Предположим, что, напротив Т(ж, у) = С(ж) + Н(у) для некоторых С и Н. Для получения противоречия достаточно доказать, что |С| > п для каждого п. А для этого достаточно показать, что вп_1! |С — Сп_ 11 > вп: тогда будет

|С| + |Сп_1| ^ |С — Сга_1| >           > |Сга_ 1| + п.

Эи-1-

Лемма. Пусть т ^ 4,

•  К = {а1,..., а2т+5} — молния из 2т + 5 различных точек на плос­кости,

•   /(а1),..., /(а2т+5) — числа, для которых | (—1)" — /(а^)| < 1/т и

•  д(ж(а")), Л(у(а")), г = 1,..., 2т + 5, — такие числа, что / (а") = = д(ж(а")) + Л(у(а")) для любого г (при этом если ж(а") = ж(а^), то д(ж(а")) = д(ж(а^)), и аналогично для у и Л,).

Тогда шах^ |д(ж(а^))| > т.

Доказательство. Можно считать, что прямая а^2 параллельна оси Ож (если это не так, то увеличим все индексы на 1 в последующих фор­мулах). Имеем