Таблицы Брадиса

Но это однозначно определяет углы

Но это однозначно определяет углы

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

Это наблюдение будет весьма полезно в дальнейшем в ходе доказатель­ства.

Доказательство. Необходимость. Используем аналитическое рас­суждение.

Зафиксировав четырёхугольник 0ABC и угол поворота 9 четырёх­угольника 0AlBlCl, устремим коэффициент гомотетии 0AlBlCl к бес­конечности. Тогда точка пересечения прямых AAl, BBl и СС1 будет стре­миться к некоторой точке Х#, а сами прямые AAl, BBl и СС1 — к прямым, проходящим через A, B и С, параллельным 0Al, 0Bl и 0С1 соответствен­но. Т. е. прямые, проходящие через A, B и С, параллельные 0Al, 0Bl и 0С1, пересекаются в Х#.

Теперь будем менять 9. Тогда прямые AX#, BX# и СХ# будут вра­щаться вокруг A, B и С с одинаковыми угловыми скоростями. Значит, Х# будет одновременно двигаться по описанным окружностям треугольников

АВХ#, ВСХ# и САХ#, т. е. эти окружности совпадают, и Х# лежит на описанной окружности дАВС.

Но это однозначно определяет углы между ОА 1, ОВ 1 и ОС1! Анало­гично углы между ОА, ОВ и ОС равны и противоположно ориентированы углам дА^1Сь

Если ОАВС не является вписанным, эти условия однозначно определя­ют форму и ориентацию четырёхугольника ОА1В1С1, соответствующую случаю (2) теоремы.

Если же четырёхугольник ОАВС вписанный, то получаем, что тре­угольники АВС и А1В1С1 одинаково ориентированы. Выберем четырёх­угольник ОА!В!С1 с той же описанной окружностью, что и ОАВС. Если дАВС = дА^В^С1, мы получаем случай (1). Если же дАВС ф дА^В^С1, то прямые АА1, ВВ1 и СС1 равноудалены от центра окружности ОАВС и могут пересекаться в одной точке, только будучи её диаметрами. Теперь нетрудно построить пример, когда А'А^, В'В1 и С'С1 не пересекаются в одной точке.

Достаточность. (1) Легко видеть, что прямые АА1, ВВ1 и СС1 про­ходят через вторую общую точку окружностей ОАВС и ОА1В1С1.