Таблицы Брадиса

Объм такого слоя равен га1Лга1Л,

Объм такого слоя равен га1Лга1Л,

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

А. А. Заславский

В учебниках по математическому анализу объём п-мерного шара Bra = = Bn(Я)|я= 1 с радиусом Я, равным единице, вычисляется интегрировани­ем по частям. В результате получается рекуррентное соотношение, выра­жающее Bra через Bn-2, которое после соответствующих преобразований приводит к формулам, имеющим разный вид для чётного и нечётного п. Между тем, использование вероятностных соображений позволяет сразу получить единую для всех п формулу.

Ясно, что Bn(Я) = BnДn. Площадь[61]) границы такого шара, являющей­ся (п-1)-мерной сферой радиуса Я, равна производной Bra(Я) по Я. Поэто­му при Я =1 получаем £га_ 1 = nBra, где £га_ 1 есть площадь (п — 1)-мерной сферы единичного радиуса, площадь же (п — 1)-мерной сферы радиуса Я суть £га_1Яга-1.

Рассмотрим случайный вектор х € Яп со стандартным нормальным распределением и плотностью2)

р(х) =               е_(х?+-+хП)/2.

^ ' д/(2п)^

Тогда вероятность того, что х лежит в шаре с центром в начале координат

О вычислении объёма n-мерного шара

и радиусом £, равна

Р(г = л/ж2 + ■ ■ ■ + ж2 ^ £) =                      е-г2/2 ^ж1... ^жга.

V                                              у(2п)”

Будем считать интегралы так. Разобьём пространство на сферические слои толщины каждый. Объём такого слоя равен £га_1Лга-1^Л, а зна­чение функции р(ж) близко к           = е-(ж?н +хП)/2. Следовательно,

а/(2п)"

Р(г < *) =                 Г Гп-1е-г2/2 ^г.

Теперь, устремив £ к бесконечности, получим в левой части единицу, а интеграл в правой части заменой и = г2/2 приводится к виду