Таблицы Брадиса

Отрезок длины 1 с концами

Отрезок длины 1 с концами

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

llx - n(x)ll = inf llx - g||.

2)   Доказать, что окрестность U в пункте 1) можно выбрать так, что для некоторого числа L > 0 и для любых точек x, у £ U выполнено нера­венство

||n(x) - п(у)|| ^ L ■ ||x - у У.

7   (старшие курсы). Доказать, что ненулевая комплексная матрица A размера 2 х 2 является квадратом (A = B2) тогда и только тогда, когда A2 = 0.

8   (старшие курсы). Дано дифференциальное уравнение с запазды­ванием x;(t) = x(t — 1). Верно ли, что для каждого решения x(t) этого уравнения выполнено

1)     lim = 0?

e

2)     lim           = 0?

e

9   (старшие курсы). Существует ли такой набор I интервалов, ле­жащих в интервале (0,1), что каждая рациональная точка интервала (0,1) принадлежит конечному числу интервалов из I, а каждая иррациональ­ная точка этого отрезка — бесконечному числу интервалов из I?

10   (старшие курсы). Пусть плоская гладкая кривая Г ограничива­ет выпуклую область Q площадью 10п. Отрезок длины 1 с концами на кривой Г протаскивается по кривой Г так, что его концы проходят все точки кривой Г, а середина описывает гладкую кривую 7, которая огра­ничивает выпуклую область G С Q. Найти площадь G.

Задачи разных лет

11           (2005, все курсы). Пусть функция /: М ^ М непрерывна в точке

х  = хо, т. е.

Уе > 0 35 > 0 Ух € и(х0) = (х0 - 5, х0 + 5) |/(х) - /(х0)| < е. (*)

Доказать, что в условии (*) для каждого е > 0 можно так подобрать

5  = 5(е), что функция 5(е) будет непрерывной при е > 0.

12   (2008, 1 курс). Пусть е1, е2,..., еп и е^, е;2,..., еП — два базиса в Мп. Доказать, что существует такая перестановка е» , е»,..., е^ векторов е1, е;2,..., еП, что для любого к = 1, 2,..., п векторы е^, е»2,..., е» , е^+1, ек+2,..., еп образуют базис.