Таблицы Брадиса

По теореме Менелая Я, Яь

По теореме Менелая Я, Яь

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

Теорема Сонда. Пусть треугольники ABC и AlBlCl ортологичны и оба центра ортологичности совпадают с точкой 0. Это значит, что

 

О А ± В1С1, ОА1 ± ВС,

ОВ ± С1А1, ОВі ± С А,

ОС ± А1В1, ОС1 ± АВ.

 

Тогда прямые AAl, BBl и СС1 пересекаются в одной точке.

Ясно, что условие теоремы сохраняется при гомотетии.

Интересно отметить, что для любых двух треугольников, удовлетворя­ющих условию теоремы Сонда, можно построить два треугольника, удо­влетворяющих условию теоремы о двух треугольниках, отразив один из них относительно произвольной прямой, проходящей через 0! Обратно, если выполнены условия теоремы о двух треугольниках, то отразив один из них относительно некоторой прямой, проходящей через 0, можно по­лучить два треугольника, удовлетворяющих теореме Сонда.

Первое доказательство. Пусть прямые 0A и BlCl пересекаются в точке Ра, а BC и BlCl — в точке Я«. Точки Рь, РС, Яь и ЯС определяются аналогично.

Рассмотрим описанные окружности треугольников APaQa, BPbЯb и СРСЯС. Легко видеть, что 0 и ортоцентр Н треугольника ABC имеют рав­ные степени относительно этих окружностей. Если 0 = Н, то треугольни­ки ABC и AlBlCl гомотетичны, и утверждение теоремы очевидно. В про­тивном случае три окружности соосны, и значит, их центры 0«,0ь и 0С лежат на одной прямой, перпендикулярной радикальной оси.

Но, будучи серединами отрезков AЯa,BЯb и СЯС, точки 0а,0ь и 0С делят стороны серединного треугольника дABC в тех же отношениях, в каких Я«, Яь и ЯС делят стороны дABC. По теореме Менелая Я«, Яь и ЯС лежат на одной прямой. Отсюда по теореме Дезарга получаем утвержде­ние теоремы.         □

Как можно получить это доказательство?

Пусть дAlBlCl вырождается в точку 0, как и в предыдущем разделе используем теорему Дезарга. Точки Я«,Яь и ЯС, которые определены и в этом случае, лежат на одной прямой, так что мы получаем следующую задачу.