Таблицы Брадиса

Пользуясь аксиомой выбора, выберем в

Пользуясь аксиомой выбора, выберем в

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

Теорема 2. Прямую можно представить в виде дизъюнктного объ­единения двух (равных) множеств A и B = R \ A, ни одно из которых не является штейнгаузовским.

Доказательство. Построим сходящуюся к нулю последовательность ei > Є2 > ез > ... положительных чисел такую, что £™=1 ГЄ = 0 при не равных одновременно нулю рациональных r (иными словами, выберем Єі рационально независимыми над Q). Это можно сделать из соображений мощности (если выбраны элементы Єї, Є2, ... , efc, то можно взять лю­бой efc+i Є (0, efc/2), кроме счётного количества запрещённых элементов). Можно предъявить такую последовательность и явно: e& := 1/^pk, где Pfc _ k-е простое число. Доказательство в этом случае не просто, см. [2, за­дача 6.20].

Так или иначе, конструктивная часть на этом всё равно заканчивается, а начинается аксиома выбора. Назовём два вещественных числа эквива­лентными, если их разность представима как линейная комбинация чисел Єі с целыми коэффициентами. Очевидно, это отношение эквивалентности, так что прямая представляется как объединение классов эквивалентности R = У Ra. Пользуясь аксиомой выбора, выберем в каждом классе экви­валентности элемент ra Є Ra. Теперь определим A как множество тех x Є R, которые представимы в виде

П

П

 

Легко видеть, что множество В := М\ А задаётся аналогичным образом, но с нечётной суммой коэффициентов ^2 т». Так же ясно, что В = А + в1, то есть множества А и В совмещаются параллельным переносом, и что мно­жество А — А не содержит ни одного из чисел в1, в2, ... . Следовательно,

0  не является для А — А внутренней точкой.                                                □

Совершенно аналогично можно построить разбиение прямой на два равных множества, для каждого из которых разность А — А не имеет внут­ренних точек, надо лишь выбрать последовательность е» не сходящейся к нулю, а всюду плотной.