Таблицы Брадиса

Прежде всего, это задача 1.

Прежде всего, это задача 1.

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

(2)    Построим такую точку Рс, что ^РСАА1 = ^А, ^РСА1А = ^А1 и треугольники АРСА1 и АВС одинаково ориентированы. Покажем, что ^РСВВ1 = ^В, ^РСВ1В = ^В1 и треугольники ВРСВ1 и А1В1С1 одинаково ориентированы.

Действительно, построим точку ТС, изогонально сопряжённую С отно­сительно дАОВ. Тогда дАТСО — дАРСА1, и надо показать, что дВТСО —

— дВРСВ1. Аналогично, пусть £с изогонально сопряжена С1 относитель­но дА1ОВ1. Тогда дО5СА1 — дАРСА1 и надо показать, что дВбСО —

— дВ1ТсВ.

Имеем дАТСО — дАРСА1, откуда дАРСТС — дАА1О и ^РСТСА = = ^А1ОА, так что ^ВТСРС = ^ВОВь Аналогично ВТС : ТСРС = ВО : ОВ1. Но отсюда следует, что дВТСРС — дВОВ1, а значит, дВТСО — дВ^СВ1, что и требовалось доказать.

Теперь построим аналогично точки Ра и Р&. Из проведённых выше рассуждений сразу следует, что четырёхугольники АРСА1Рь, ВРаВ1РС и СРьС1Ра — дельтоиды. Следовательно, прямые АА1, ВВ1 и СС1 являются серединными перпендикулярами к сторонам дРаРьРс и пересекаются в центре его описанной окружности.          □

Из доказанной теоремы легко получить множество красивых след­ствий. Прежде всего, это задача 1. Другой пример — следующая задача, предложенная автором.

Задача 6. Вписанная окружность треугольника АВС касается его сторон в точках А1, В1 и С1. Произвольная прямая I проходит через центр / этой окружности. Пусть дA/B/С' симметричен дAlBlCl относитель­но I. Докажите, что прямые AA/, BB/ и СС' пересекаются в одной точке.

(Болгарская олимпиада, 2009)

Весьма короткое решение этой задачи было найдено И. Богдановым во время олимпиады.

Решение. Имеем равенство ориентированных углов

^'/8' = -^1^ = 180о + zACB = 2(90 + ^С/) = 2^1^.

Отсюда следует, что точки, симметричные A' относительно A/ и B' от­носительно B/, являются одной и той же точкой Т. Аналогично Т сим­метрична С' относительно С/, и прямые AA', BB' и СС' пересекаются в точке, изогонально сопряжённой Т относительно дABC.