Таблицы Брадиса

Продолжая, получим, что ао ЕиК.

Продолжая, получим, что ао ЕиК.

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

(Ь) Контрпримером является множество {(к, к)}^1 и {(к, к - 1)}^1 точек плоскости.

10.   Докажем часть «только тогда». Предположим, что Еп(К) = 0 для всех п. Для каждого п рассмотрим точку ао € Еп(К). Выберем точки а_1,а1 € Еп-1(К) такие, что х(а_1) = х(ао) и у(а1) = у(ао). Теперь можно выбрать точ­ки а_2,а2 € Еп_2(К), для которых {а_2, а_1, ао, а1, а2} — молния. Аналогично можно сконструировать молнию из 2п +1 точек, лежащую целиком в множестве К. Что и требовалось доказать.

Докажем часть «тогда». Пусть множество К содержит молнию из 2п + 1 точки {а_п,. .., ао,. .., ап}. Тогда в множестве Е(К) содержится молния из 2п-1

точки {а-п+1,..., аи-г}. Продолжая, получим, что ао € Еи(К). Следовательно, если Еи(К) = 0, то К не содержит молнии из 2п +1 точек.

11.   (а) Для произвольной функции /: К — М на еже К определим д(ж) := /(ж, 0,0), Л(у) := /(0, у, 0) — /(0, 0, 0) и /(г) := /(0,0, г) — /(0,0, 0).

(Ь) Положим д(0) = /(0, 0, 0), Л(0) = 0, /(0) = 0,

2д(1) = / (0,0,0) + / (1,1,0) + / (1,0,1) — / (0,1,1),

2Л(1) = —/(0,0, 0)+ / (1,1, 0) — / (1,0,1)+ / (0,1,1)) и

2/(1) = —/(0,0, 0) — / (1,1, 0)+ / (1,0,1)+ / (0,1,1).

Доказательство критерия БАЗисности

Пусть К — произвольное замкнутое ограниченное подмножество плос­кости. Известно, что тогда любая непрерывная функция /: К — М огра­ничена. Функция /: К — М называется ограниченной, если найдётся число М такое, что |/(ж)| < М для любой точки ж € К. Для ограниченной функ­ции С: К — М положим

|С| := вир |С(ж)|.

Начало доказательства части «только тогда» критерия базисности. Предположим, напротив, что К содержит сколь угодно длинные молнии и базисно. Выбирая подпоследовательности, можно добиться того, чтобы в каждой молнии точки попарно различны. Поэтому будем считать, что это выполнено. Тогда для любого п ^ 4 существует молния {аП,..., аПП+5} из 2п + 5 различных точек множества К.