Таблицы Брадиса

Пусть К замкнутое подмножество плоскости.

Пусть К замкнутое подмножество плоскости.

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

f (ai) — f (a2 ) + f (a3) — f (a4) + • • • — f (a2l) = h(y(ai)) — h(y(a2l)).

Так как Иш;^то Н(у2г) существует и равен Н(у(ао)), то ряд У~]^-1)®/(а*) схо­дится при I ^ то. Но это противоречит расходимости гармонического ряда.

(с)  Крест содержит замкнутую молнию

'-11 А                    /11

а4к+1 = I ~г, 4к) , а4г+2 =

1-0 ( -1 -1

а4й+3 = -—~й, -—~й , а4к+4 =

2 • 4Г 2 • 4Г / ^+1’ 2 • 4г

Определим функцию / на этой молнии, используя задачу 7(Ь), и продолжим её кусочно-линейно на весь крест. Не существует таких функций д и /, что /(х, у) =

= д(х) + %).

(^ Для любого * точки (т^2г, ш®,2г)2=1 и (ш®,2г, ш®,2г_2)2=1 образуют молнию из 2® элементов.

(е) Определим функцию /(х, у) соотношениями

/((т®,2г, т®,2г)) := 2® и /((ш^г,ш®,2г_2)):= -2® .

Предположим, что /(х, у) = д(х) + Н(у) для некоторых непрерывных д(х) и Н(у). Теперь для каждого *, используя молнии (ш®,2г,ш®,2г) и (ш®,2г, ш®,2г_2), где I =

3               2

= 1, 2, 3,... 2®-1, получаем Н(2 - 2®) - Н(2 - ) = 1. Это противоречит непрерыв­ности Н в точке у = 2.

8.   Докажем утверждение «только тогда». Пусть К — замкнутое подмноже­ство плоскости. Предположим, что для некоторой точки а = (х, у) € К и для

произвольного £ = — > 0 существует хотя бы одна точка ап € К, для кото­рой |а, ап| ^ — . Но тогда последовательность точек ап € К сходится к точке а,

поэтому а € К. Противоречие.

Теперь докажем утверждение «тогда». Пусть некоторая последовательность ап сходится к точке а, не лежащей в множестве К. По условию существует £ > 0 такое, что для любой точки ап € К расстояние |а, ап| > £. Но это противоречит сходимости последовательности.

9.   (а) Любая бесконечная молния А, не содержащая замкнутых молний и сходящаяся к точке а € А, является базисной. Это следует из того, что любая функция, определённая на А, непрерывна.