Таблицы Брадиса

Пусть центр окружности, вписанной

Пусть центр окружности, вписанной

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

Перейдём к изучению интересных контрпримеров, возникших из работ автора по исследованию различных прямых Эйлера.

Теорема Шиффлера. Пусть I — центр окружности, вписанной в дАВС. Тогда прямые Эйлера треугольников АВ1, ВС1, СА1 и АВС пе­ресекаются в одной точке.

Эта точка 5 называется точкой Шиффлера.

Обобщённая теорема Шиффлера. Пусть Ма и Оа — центр тя­жести и центр описанной окружности дВС1. Точки Мь, Мс, Оь и Ос определены аналогично. Тогда любые два треугольника, гомотетичные дМаМьМС и дОаОьОС с центром I, перспективны.

Сначала докажем следующую лемму.

Лемма. Дан треугольник АВС и точка О. Прямые АО, ВО и СО пе­ресекают описанную окружность дАВС в точках А', В' и С'. Пусть Ма и Ма — центры тяжести треугольников ОВС и ОВ'С' соответственно, Оа и Оа — центры их описанных окружностей, точки Мь, Мв, Оь,... определе­ны аналогично. Тогда любые два треугольника, гомотетичные дМаМ^МС и дОаОьОС с центром О, перспективны тогда и только тогда, когда любые два треугольника, гомотетичные дМаМвМс и дОаОвОс с центром О, перспективны.

Доказательство. Пусть МАМ^МС — произвольный треугольник, гомотетичный дМаМдМс с центром О, а дМаМ^МС гомотетичен дМаМьМС с теми же центром и коэффициентом. Очевидно, достаточно доказать, что, если ОаМА , Ов М^ и Ос МС пересекаются в некоторой точ­ке Х, то ОаМа, ОьМ^ и ОСМС пересекаются в некоторой точке 2.

Пусть точка У изогонально сопряжена Х относительно дОаОвОс. Заметим, что дОаОьОс — дОаОвОс и построим такую точку 2, что ОаОьОс2 — дОаОв Ос У.

Так как OA'B'OcMeMC ~ OBAOCMCMC, то Z лежит на прямой OCMC. Аналогично она лежит на прямых OaMC и O^M^, следовательно Z — ис­комая точка.                                                     □