Таблицы Брадиса

Таким образом, в 1989 г.

Таким образом, в 1989 г.

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

Пусть X1,... , Xm — конечномерные метрические пространства. По­ложим n = dim X1 + ■ ■ ■ + dim Xm и X = X1 x ■ ■ ■ x Xm. Тогда суще­ствуют такие непрерывные функции Uij : Xj — R, (i = 1,..., 2n + 1, j = 1,..., m), что для функций ui(x1,..., xm) = ui1(x1) + ■ ■ ■ + uim(xm) и любой непрерывной функции f: X — R существуют непрерывные функ­ции /1,..., f2n+1: R — R, для которых

f (X1, . . . ,Xm) = /1 (U1 (X1, . ..Xm)) +------- + f2n+1 («2n+1 (X1, . . . , Xm)).

Имеются n-мерные полиэдры, не вложимые в R2n [9], [12].

Теорема Штернфельда. Для любого n ^ 2 любой n-мерный ком­пакт (например, n-мерный куб) не вложим базисно в R2n [18].

Интересно, что теорема Штернфельда редуцируется к комбинатор­но-геометрическому утверждению при помощи многомерного анало­га критерия базисности, приведённого в третьей части настоящей статьи.

Очевидно, что K базисно вложим в R тогда и только тогда, когда K топологически вложим в R. Из теорем Остранда и Штернфельда следует, что для m > 2 компакт K базисно вложим в Rm тогда и только тогда, когда dim K < m/2. Таким образом, в 1989 г. оставалось неизвестным лишь описание компактов, базисно вложимых в плоскость.

2.  Базисные вложения в плоскость Базисная вложимость в плоскость

Граф (или компакт) К называется базисно вложимым в плоскость, если существует такое вложение р: K ^ R2, что для любой непрерывной функции f: р(К) ^ R существуют такие непрерывные функции g, h: R ^ R, что f (x,y) = g(x) + h(y) для любой точки (x,y) G р(К). (Определение непрерывной функции напомнено в начале части 1.)

Проблема описания графов (и компактов), базисно вложимых в плос­кость, поставлена Штернфельдом [18]. Критерий базисной вложимости линейно-связных компактов в плоскость получен в [17]. Для конечных графов он формулируется особенно просто.

Винберг Э. Б: Математическое просвещение. Часть 1.