Таблицы Брадиса

Теперь дж и Лу могут

Теперь дж и Лу могут

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

где правые части суть суммы знакопеременных рядов.

Теперь д(ж) и Л(у) могут быть продолжены до дифференцируемых функций М ^ М.

15.   (а) Определим

ад(0) = 0, ад(4- + 4-3г) = ад(4"*) = 0 и ад(4- +4-3^-1)=234 для г = 1, 2, 3,... .

Продолжим теперь эту функцию кусочно-линейно до функции т: [0; 1] ^ М. Для каждого ж € [0; 1] определим /(ж, —ж) как площадь под графиком функции т на отрезке [0;ж]. На остальном кресте положим /(ж,у) = 0.

Предположим, что /(ж, у) = д(ж) + Л(у) для некоторых дифференцируемых д и Л. Не ограничивая общности, будем считать, что д(0) = Л(0) = 0. Для ж € [0; 1] определим Ш(ж) как площадь под графиком функции т на отрезке [0; ж]. Определим /(ж, —ж) = Ш(ж) для ж € [0; 1] и /(ж, у) =0 на остальных точках креста.

Ясно, что / дифференцируема вне (0, 0). Можно проверить, что / диффе­ренцируема и в (0, 0) .

Предположим, что /(ж, у) = д(ж) + Л(у) для некоторых дифференцируемых д и Л. Не ограничивая общности, будем считать, что д(0) = Л(0) = 0. Функция д

не дифференцируема в точке ж = 1/4, поскольку для 0 < й < - выполнено

»(4+") -9 (4) = и' (4+") - № (4) + № (р + V - № Ш + • • • > >»Ч ^ + 4А - и, ( ‘ \ = > <“)3/4

4к+1 4к /               \ 4к+1 /            2^2

Здесь

•  первое равенство доказывается с использованием двух бесконечных мол­ний из точек креста, начинающихся в точках (4 + й, — 4 — й) и (4, — 4) и

сходящихся к точке (0, 0);

•  к ^ 0 таково, что 4-2к ^ 4й > 4-2(к+1);

•  первое неравенство выполнено, поскольку Ш невозрастающая функция;

й 1

•  второе неравенство выполнено, поскольку ~к > з(к + 1) ;

•  второе равенство выполнено по определению числа к.

(Аналогично доказывается, что д не дифференцируема ни в какой точке вида

ж = 4—.)

Список литературы