Таблицы Брадиса

Тогда более слабая оценка 0.

Тогда более слабая оценка 0.

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

ж = 12 cos р + cos 2р + 1 cos 4р, у = 12 sin р — sin 2р + 1 sin 4р.

Указание. Убедиться в этом, а также получить другие примеры искомых кривых, можно следующим образом. Каждому направлению (задаваемо­му углом р) соответствует ровно одна прямая, делящая площадь и пери­метр фигуры пополам. Обозначим через 21(р) длину отрезка этой прямой, лежащего внутри нашей фигуры. Обозначим через (х(р),у(р)) координа­ты его середины. Нетрудно доказать, что 1(р) не зависит от р, и что

прямая, делящая фигуру пополам, касается кривой (х(р),у(р)). (*) Примеры функций x и у, удовлетворяющих условию (*), будем ис-

n

кать в виде £ (а& cos kp + bfc sin kp). (Для знакомых с рядами Фурье по-

k=0

иск решения в таком виде естественен.) Условие (*) переформулируется в виде уравнения на коэффициенты а&, b^ (с параметром 1). Граница на­шей фигуры задаётся параметрическим уравнением X(р) = х(р) +1 cos р, Y(р) = у(р) + 1 sin р. При этом для достаточно больших 1 полученная фигура будет выпуклой.

5.    Указание. Рассмотрим граф, множество вершин которого — W, и в котором ребром соединены вершины на расстоянии 1. Тогда более слабая оценка 0.49 х 12.1n легко получается из следующего известного резуль­тата: если среди любых k вершин графа с v вершинами некоторые две соединены ребром, то число рёбер в графе не меньше (k — 1)q(q — 1)/2,

v

. Для доказательства оценки 0.99 х 12.1n нужно уточнить

к — 1.

рассуждения, применяемые при доказательстве слабой оценки, используя несуществование п + 2 точек в п-мерном пространстве Мп с попарными расстояниями 1.

Решения и указания к задачам 2009 года

1.    Ответ: п = 5.

При каждом п ^ 5 гиперплоскость ж і + ••• + жп = п — 2 пересекает все замкнутые (п — 1)-мерные грани п-мерного куба