Таблицы Брадиса

Вокруг монгольского неравенства Математическое просвещение.

Вокруг монгольского неравенства Математическое просвещение.

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

б) Каждая F-субгармоническая функция f: Z2 ^ R, для которой

lim sup ^ 0, ln |z|

является константой.

Доказательство. а) Так как 2|z| = |z — w| + |z + w| при |z| ^ |w|, то |z| является F-(суб)гармонической функций при |t| ^ m = maxwgf w. Тогда аналогично доказательству утверждения 1 можно показать, что max[-m+l m-1] f = sup f. Если f (z) = M, по индукции получаем, что f (z +        w) = M, где G Z+. Сумма в скобках принимает все

целые значения, так как среди чисел w G F есть хотя бы два числа проти­воположного знака и они взаимно просты по определению множества F. Следовательно, f = M.

б) Доказательство аналогичное и основано на том, что функция g(z) = = — ln(|z|2 — 4m2) (строго) F-субгармоническая при |z|2 ^ 56m2. Это сле­дует из неравенства

4g(z) < g(z + zi) + g(z — zi) + g(z + Z2) + g(z — Z2),

где z1 = (a — b, b), z2 = iz1 = (—b, a — b) и 0 ^ b ^ a ^ m. После несложных преобразований неравенство принимает вид

c2(r — d)2 + 2cd(r — d + c)2 > 8((a — b)x + by)2(—bx + (a — b)y)2,

где r = |z|2, d = 4m2 и c = (a — b)2 + b2. Правая сторона последнего неравенства не больше, чем 8c2r2, следовательно, достаточно доказать, что

c(r — d)2 + 2d(r — d + c)2 > 8cr2.

Это неравенство эквивалентно

r[r(2d — 7c) — 2d(2d — c)] + d[2(d — c)2 + cd] > 0.

Последнее очевидно, так как выражение в первых скобках неотрицательно в силу неравенств r ^ 14d и 7(2d — 7c) ^ 2d — c > 0 (т. е. d ^ 4c).

Замечание. Результаты оптимальные, как показывают примеры функций e|z|: Z ^ R и е ln(|z|2 + 1): Z2 ^ R, где е > 0.

Список ЛИТЕРАТУРЫ

[1]  Храбров А. И. Вокруг монгольского неравенства // Математическое просвещение. Третья серия. Вып. 7. 2003. С. 149-162.

[2]   Богданов И. И., Челноков Г. Р. Обобщенные супергармонические по­следовательности // Математическое просвещение. Третья серия. Вып. 10. 2006. С. 232-235.

[3]   Шольце П. О неотрицательных гармонические последовательности на решетке // Математическое просвещение. Третья серия. Вып. 10.