Таблицы Брадиса

Заметим, что в задаче 10.

Заметим, что в задаче 10.

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

Рис. 1.

ставку 2:1 (т. е. при выигрыше вы получаете вдвое больше, чем отдаё­те при проигрыше) и по-прежнему выигрывать? А 3:1? Иначе говоря — какой может быть наибольшая вероятность выигрыша крупье (при опти­мальном выборе игрока)?[58] А что, если количество рулеток ограничено?3)

Ответам на эти вопросы и посвящена эта заметка. Главным результа­том в ней является решение задачи 10.5 из задачника «Математического просвещения». Напомним её условие.

10.5.    На берегу круглого острова Гдетотам расположено п деревень, в каждой живут борцы. Был проведён турнир, в котором каждый борец встретился со всеми борцами из всех других деревень. Деревня А счита­ется сильнее деревни Б, если хотя бы (1 — а)-я часть поединков между борцами из этих деревень заканчивается победой борща из деревни А. ( У всех борцов разная сила, и в поединке всегда побеждает сильнейший.) Выяснилось, что каждая деревня сильнее следующей за ней по часовой стрелке. Докажите, что а ^ ао =        2—п— , причём число ао нельзя

4еов2

п + 2

заменить на меньшее.

Ясно, что эта задача эквивалентна вопросу о максимальной возмож­ной вероятности выигрыша крупье на п рулетках: достаточно в секторах каждой рулетки записать силы борцов из соответствующей деревни.

Мы предполагаем, что все числа на всех рулетках — разные. Кроме того, мы предполагаем, что все числа на каждой рулетке выпадают рав­новероятно (впрочем, это не играет особой роли, если не ограничивать количество чисел на рулетках).

Выясним, как должен быть устроен выбор рулетки крупье в ответ на наш выбор. Пусть вероятность выигрыша крупье равна в. Тогда для лю­бой рулетки А, выбранной вами, должна найтись рулетка В, выигрыва­ющая у неё с вероятностью, не меньшей в. Проведём стрелку от В к А. В полученном графе в каждую вершину входит по стрелке, значит, в нём есть ориентированный цикл. Выбросив все рулетки, не входящие в этот цикл, мы получаем набор из не большего числа рулеток, в котором первая рулетка выигрывает у второй (с вероятностью не меньше в), вторая — у третьей, ..., последняя — у первой. Значит, вероятность выигрыша крупье здесь не меньше, чем на исходном наборе (она могла и повыситься!). На­зовём такую систему системой с выигрышем в, если минимальная среди вероятностей выигрыша рулетки у следующей равна в. Далее мы рассмат­риваем только такие системы рулеток. (Заметим, что в задаче 10.5 также описана ровно такая система.)